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从 1 到 n 整数中 1 出现的次数。题目 ：输入一个整数 n ，求从 1 到 n 这n 个整数的十进制表示中1 出现的次数。 例如 输入 12，从 1 到 12 这些整数中包含 1 的数字 有 1， 10 ，11 和 12， 1 一共出现了 5次。
如果在面试的时候碰到这个问题，应聘者大多能想到最直观的方法，也就是累加 1到 n中每个整数 1 出现的次数。我们可以每次通过对 10 求余数判断整数的个位数字是不是 1.如果这个数字大于 10，除以 10之后再判断个位数字是不是 1.基于这个思路，可以写出以下代码
int NumberOf1Between1AndN( unsigned int n ){ int number = 0; for( unsigned int i=1; i<=n; ++i ) number += NumberOf1( i ); return number;}int NumberOf1( unsigned int n ){ int number = 0; while( n ) { if( n%10 == 1 ) number ++; n = n/10; } return number;} 在上述思路中，我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中 1 出现的次数。如果输入数字 n， n有O（logn）位，我们需要判断每一位是不是 1 ，那么它的时间复杂度是 O（n*logn）。当输入 n 非常大的时候，需要大量的计算，运算效率不高。面试官不会满意这种做法。
如果希望不用计算每个数字的1的个数，那就只能去寻找 1 在数字中出现的规律了。为了找到规律，不妨用一个稍微大一点的数字比如 21345 作为例子来分析。把从 1 到21345的所有数字分为两段，一段是 1到 1345，另一段 是 1346 到 21345.
先看从 1346到21345中 1 出现的次数。 1 的出现分为两种情况。首先分析 1出现在最高位（本例中是万位）的情况。从1346到21345的数字中， 1 出现在10000-19999这 10000个数字的万位中，一共出现了10000（10^4）个。
值得注意的是，并不是对所有5位数而言在万位出现的次数都是10000个。对于万位是1的数字比如输入12345，1只出现在 10000-12345的万位，出现的次数不是10^4次，而是2346次，也就是除去最高数字之后剩下的数字再加上 1（即 2345+1 = 2346 次）。接下来分析 1 出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中 1346-21345 这 20000个数字中后4 位中 1 出现的次数是 2000次。由于最高位是 2，我们可以再把 1346-21345分成两段， 1346-11345和11346-21345.每一段剩下的4位数字中，选择其中一位是1 1， 其余三位可以再 0-9 这10个数字中任意选择，因此根据排列组合原则，总共出现的次数 是2*10^3 = 2000次。
至于从1 到 1345中 1出现的次数，我们可以用递归求得。这也是我们为什么要把 1-21345 分成 1-1345 和 1346-21345 两段的原因。因为把 21345 的最高位 去掉就变成 1345，便于 我们采用递归的思路。
int NumberOf1Between1AndN_Solution2(int n){ if(n <= 0) return 0; char strN[50]; sprintf(strN, "%d", n); return NumberOf1(strN);}int NumberOf1(const char* strN){ if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0') return 0; int first = *strN - '0'; unsigned int length = static_cast (strlen(strN)); if(length == 1 && first == 0) return 0; if(length == 1 && first > 0) return 1; // 假设strN是"21345" // numFirstDigit是数字10000-19999的第一个位中1的数目 int numFirstDigit = 0; if(first > 1) numFirstDigit = PowerBase10(length - 1); else if(first == 1) numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1; // numOtherDigits是01346-21345除了第一位之外的数位中1的数目 int numOtherDigits = first * (length - 1) * PowerBase10(length - 2); // numRecursive是1-1345中1的数目 int numRecursive = NumberOf1(strN + 1); return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;}int PowerBase10(unsigned int n){ int result = 1; for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i) result *= 10; return result;} 这种思路是每次去掉最高位做递归，递归的次数和位数相同。一个数字 n 有O（logn）位，因此这种思路的时间复杂度是O（logn），比前面的原始方法要好很多。
（1）功能测试（输入 5、10、55、99 等）
（2）边界值测试（输入 0、1等）
（3）性能测试（输入较大的数字 如 10000、21235等）
复杂问题的思维能力。
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